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材料力學中的正應力和正應變基礎知識

做機械加工的朋友應該對應力這一概念不陌生,應力是怎么產生的?應力如何計算?接下來一起從材料力學方面全面了解一下什么是應力。

在材料力學中,最基本的概念是應力應變。通過研究一根承受軸向力的柱狀桿就能夠從根本上揭示這些概念是如何產生的。所謂柱狀桿就是軸線為直線且橫截面處處相同的直桿;所謂軸向力,就是一個沿某一柱狀桿的軸線施加的載荷,它會導致該柱狀桿發生拉伸或壓縮變形。在圖1-19給出的示例中,牽引桿是一根承受拉伸的柱狀桿,而起落架支柱是一根承受壓縮的柱狀桿。其他的例子還有橋梁桁架中的各個桿件、汽車發動機 的連桿、自行車車輪的輻條、建筑物的支柱以及小型飛機機翼的支柱。

為了便于討論,研究圖1-19中的牽引桿,并將其從整體結構中隔離出來,使其成為一個自由體(圖1-20a)。在繪制該牽引桿的自由體圖時,忽略其自重,并假定主動力僅為作用在該牽引桿兩端的軸向力PO接下來,將研究該牽引桿的兩個視圖,第一個視圖表示加載前的牽引桿(圖1-20b),第二個視圖表示加載后的牽引桿(圖1-20c)。注意,該牽引桿的原始長度用字母L,表示,而由于加載而導致的該牽引桿長度的增加量用希臘字母δ表示。

承受軸向載荷的構件

如果使用一個假想的剖切面將牽引桿在截面(圖1-20c)處剖開,就可以揭示該牽引桿中的內部作用。由于mn截面與牽引桿的軸線垂直,因此mn截面被稱為橫截面。

這時,可以把橫截面mn左側部分的桿件隔離出來作為一個自山體(圖1-20d)。在該自由體的右手端(橫截面mn上),我們給出了該桿件的移除部分(即橫截面mn右側部分的桿件)對保留部分的作用。該作用是由連續分布在整個橫截面mn上的應力所形成的,而且,作用在該mn橫截面上的軸力P就是這些應力的合力(合力用虛線表示在圖1-20d中)。

應力用希臘字母σ表示,其單位是力每單位面積。一般而言,作用在一個平面上的應力,既可能均勻分布在整個平面的面積上,也可能是非均勻分布的(即從平面上一點到另一點,其應力是變化的)。假設作用在橫截面mn(圖1-20d)上的應力均勻分布在該橫截面面積上,則這些應力的合力就必定等于應力的大小與該橫截面面積的乘積,即P=σA因此,我們得到了以下關于應力大小的表達式:
σ=P/A

該式給出了在一個橫截面為任意形狀的軸向承載柱狀桿中的均布應力的強度。

受拉伸的柱狀桿

當柱狀桿在力P的作用下受到拉伸時,該桿中的應力為拉應力(tensilestresses);反之,如果該作用力是反向的,使柱狀桿受到壓縮,則得到壓應力。由于這類應力的作用方向垂直于剖切面,因此,它們被稱為正應力(normalstresses)。正應力即可以是拉應力,也可以是壓應力。應力的另一種類型——切應力,切應力的作用方向與剖切面平行。
當需要約定正應力的符號時,通常約定:拉應力為正,壓應力為負。
由于正應力σ等于軸力除以橫截面面積,因此其單位(units)是力每單位面積。
在國際單位制((SI)中,力的單位為牛[頓](N),面積的單位為平方米。因此,應力的單位是牛[頓]每平方米(N/m2),即帕[斯卡](Pa)。然而,帕[斯卡](Pa)是一個非常小的應力單位,因此,通常使用兆帕(MPa)這樣較大的應力單位。而且,雖然不推薦,但有時會使用牛[頓]每平方毫米(N/mm2)作為應力單位(lN/mm2=lMPa)。
局限性:只有當應力均勻分布在柱狀桿的橫截面上時,公式σ=P/A才是有效的。如果軸向力P的作用線穿過橫截面面積的形心,那么,公式σ=P/A的有效性就得以實現。當載荷P沒有作用在形心處時,柱狀桿將發生彎曲,這時就必須進行更為復雜的分析。

圖1-20d所示的均勻應力分布狀況遍及該柱狀桿的整個長度,但端部附近除外。柱狀桿端部的應力分布狀況取決于載荷P的施加方式。如果碰巧載荷均勻分布在柱狀桿的端部,則端部的應力分布狀況與其他位置是相同的。然而,更可能的情況是,載荷通過銷或螺栓被施加在柱狀桿的端部,并因而產生較高的局部應力,這一現象被稱為應力集中。
如圖1-21所示的眼桿就是上述可能情形的一個示例在圖1-21中,銷穿過該眼桿端部的眼孔,載荷P被銷傳遞給眼桿。于是,圖中所示的力P實際上是銷與眼桿之間相互擠壓力的合力,而且,孔周圍的應力分布狀況是十分復雜的。不過,一旦離開該桿的端部并移向其中間部分,應力就逐漸地接近圖1-20d所示的均勻分布狀況。

實踐中使用的規則是:對于柱狀桿內遠離應力集中的距離至少等于該桿橫向尺寸的那些點,公式σ=P/A具有良好的適用精度。換句話說,對于圖1-21所示眼桿,在與兩端距離為b或大于b(b為該眼桿的寬度)的位置處,其應力是均勻分布的;對于圖1-20所示柱狀桿,在與端部的距離為d或大于d(d是該柱狀桿的寬度,圖1-20d)的位置處,其應力是均勻分布的。

承受拉伸載荷P的鋼制眼桿
當然,即使在應力分布不均勻的情況下,等式σ=P/A仍然可能是有用的,因為它給出了橫截面上的平均正應力。
正如已經觀察到的那樣,施加軸向載荷時,一根直桿將發生長度的改變,拉伸時變長,壓縮時變短。再次以圖1-20所示柱狀桿為例,該桿的伸長量δ(圖1-20c)是其整個體積內所有材料微元的拉伸量累加的結果。假設該桿中各處的材料都相同,那么,如果只研究該桿的一半(長度為L/2),則伸長量將等于δ/2;如果只研究該桿的四分之一,則伸長量將等于δ/4。
一般而言,直桿中某一段的伸長量等于該段的長度除以該直桿的總長度L,再乘以該直桿的總伸長量δ。因此,就單位長度的直桿而言,其伸長量等于1/L×δ。這一伸長量被稱單位長度伸長量,或應變〔strain),并以希臘字母ε表示??梢钥闯?,應變由下式確定:

如果該桿受到拉伸,則稱這時的應變為拉應變(tensilestrain),它代表材料的伸長或延伸。如果該桿受到樂縮,則這時的應變就是壓應變(compressivestrain),該桿將縮短。通常用正值表示拉應變,用負值表示壓應變。應變被稱為正應變(normalstrain),因為它與正應力有關。
由于正應變是兩個長度的比值,是一個無量綱的量,即它沒有單位。因此,可將應變簡單表示為一個獨立于任何單位制的數。應變的數值通常非常小,因為對于由各類結構材料制成的桿件,在受到載荷作用時,其長度僅發生很小的變化。以一根長度L為2m的鋼桿為例,當對該桿施加較大的拉伸載荷時,該桿可能僅伸長1.4mm,這意味著應變為:

ε=δ/L=1.4mm/2.0m=0.0007=700×10﹣6

在實踐中,δ和L的原始單位有時會被標記在應變數值之后,這時應變以諸如mm/m、μm/m和in/in等形式來表示。例如,上述正應變ε可以按700μm/m或700×10﹣6m/m的形式給出。應變有時也可以百分比的形式來表示,特別是當應變較大時(在上述例子中,應變為0.07%)。
單向應力和應變(Uniaxial Stress and Strain),正應力和正應變的定義基于純粹的靜力學和幾何學,這就意味著,式(1-1)和式(1-2)適用于任何大小的載荷和任何材料。其主要要求是,桿件的變形應均勻分布在其整個體積內,這就反過來要求桿件應是柱狀的,載荷的作用線應通過橫截面的形心且材料應是均勻的(即桿件的所有部分都是相同的)。由此產生的應力與應變狀態,被稱為單向應力和應變(盡管會出現橫向應變)。

軸向力的作用線與應力的均布在上述關于柱狀桿中應力和應變的討論中,假設正應力σ均勻分布在橫截面上?,F在證明,如果軸向力的作用線通過橫截面面積的形心,則滿足這一假設。
研究一根受到軸向力P(該力產生均布應力σ)作用的任意截面形狀的柱狀桿(圖1-22a)。用P1表示橫截面上的一個點,力P的作用線通過該點貫穿橫截面(圖1-22b);同時,在橫截面所在的平面內建立一個xy坐標系,并以¯x和¯y表示點P1的坐標。為了確定¯x和¯y表的值,我們觀察到,力P對x軸和y軸的力矩Mx和My,必須分別等于均布應力關于相應軸的力矩。
力P對x軸和y軸的力矩分別為:
Mx=P¯y    My=-P¯x

其中,當力矩矢量(使用右手法則)作用在相應軸的正方向時,該力矩為正。
該分布應力對各軸的力矩可通過在整個橫截面面積A上積分的方法得到。作用在微面積單元dA(圖1-22b)上的微力等于σdA。該微力對x、y軸的力矩分別等于σydA和-σydA(其中,x、y為微元dA的坐標)。于是,通過在整個橫截面面積A上積分,就可以得到合力矩:

Mx=∫σydA
My=∫σxdA

這兩個表達式給出了應力伊所產生的力矩。 接下來,使力P的力矩Mx和My與該分布應力σ的相應力矩分別相等,即:
P¯y=∫σydA
P¯x=∫σxdA

由于應力σ是均勻分布的,由此可知,應力σ的值在整個橫截面面積上是恒定的,因此,可將σ置于積分符號的外面。同時,還已知σ等于P/A?;谶@兩個已知條件,可得到以下有關點坐標的表達式:
¯y=∫ydA/A
¯x=∫xdA/A

這兩個公式與定義面積形心坐標的公式是相同的。因此,可得出一個重要結論:為了使一根柱狀桿受到均勻的拉伸或壓縮,軸向力的作用線必須通過橫截面面積的形心。

柱狀桿中均勻的應力分布

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